简单了解PID

Sun, 10 Nov 2024 00:00:00 +0000

参考内容

https://www.bilibili.com/video/BV1G9zdYQEr3

积分饱和 - 维基百科，自由的百科全书

PID基本理论公式

$$ out(t)=K_p*error(t)+K_i*\int^{t}_{0}error(t)dt+K_d*\frac{derror(t)}{dt} $$

积分项
- 积分的本质是累加
- $K_i$会不断累加过去的误差（包括正误差和负误差),将之作为当前的输出。
  
  这意味着$K_i$的输出是具有滞后性的，在系统输入目标改变一段时间后，输出才会到达目标值。（图一）
- $K_i$会消除稳态误差的原因是：如果系统无法达到目标值，它所提供的输出会越来越大，直到系统达到目标值为止。
- 在$K_p$和$K_i$联合运作时，先是$K_p$快速地提高输出，然后在稳态误差的作用下停止输出，此后$K_i$再依靠不断累计的输出将被控设备运动到位。

微分项
- 微分的本质是求误差变化的斜率，而斜率和当前时刻附近误差变化的趋势有关系
- 误差变化的越大，误差变化率的斜率就越大根据斜率来输出阻力，就可以阻碍误差的急剧变化。
  - 当误差急剧升高时，对误差求导得到的斜率就会变大
  - 当误差急剧降低时，对误差求导得到的斜率就会变小
  - 直接使用这个斜率作为参数再乘以一个常量就可以给系统引入阻尼了。
- 如果$K_d$给的过大，阻尼就会过大，此时系统会表现得“卡卡的”

倒立摆电机编码器在不同$K_d$时的输出值拟合曲线。

将PID离散化

原有的pid公式是一个线性过程，适用于模拟电路。但是在数字电路中并不适用，所以需要进行离散化

原有公式$out(t)=K_perror(t)+K_i\int^{t}_{0}error(t)dt+K_d*\frac{derror(t)}{dt}$

最终得到公式

$$ out(t)=K_p*error(k)+K_i*T\sum^t_{j=0}error(j)+K_d*\frac{error(k)-error(k-1)}{T} $$

当然我们也可以把T并入到$K_i$和$K_d$中，也就是

$$ out(t)=K_p*error(k)+K_i*\sum^t_{j=0}error(j)+K_d*error(k)-error(k-1) $$

全量式PID和增量式PID

全量式PID

增量式PID

即输出为上一次的增量(或负增量)
优势
- 计算方便：只需要得到out(k) out(k-1) out(k-2)这三个值就可以计算增量了
- 限幅更方便（防止积分饱和¹与过摆）
- 因为会持续存储控制状态，在手动切换到自动的过渡中会更平缓(全量式pid需要一定的时间来进行适应)
计算公式：$\Delta out(k)=out(k)-out(k-1)$

$$ \Delta out(k)=[K_p*(error(k)-error(k-1))]+[K_i*error(k)]+[K_d*(error(k)-2error(k-1)+error(k-2)]) $$

更高级的PID

积分限幅

积分分离(线性&非线性)

【待补充】

积分饱和是指PID控制器或是其他有积分器的控制器中的现象，是指误差有大幅变化（例如大幅增加），积分器因为误差的大幅增加有很大的累计量，因此造成过冲，而且当误差变为负时，其过冲仍维持一段时间之后才恢复正常的情形 ↩︎

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